完全加法族

概要



目次

目次詳細



定義

Xを集合, BをXの部分集合族とする.

$$ \begin{aligned} &X : \text{set} \\ &\boldsymbol{B} \subset \mathfrak{P}(X) : \text{family of subsets of } X \end{aligned} $$

Bが次の条件を満たす時, BをX上の 完全加法族(completely additive class of sets) という.

$$ \begin{aligned} &\text{(1)} \quad \phi \in \boldsymbol{B} \\ &\text{(2)} \quad A \in \boldsymbol{B} \Longrightarrow A ^ c = X - A \in \boldsymbol{B} \\ &\text{(3)} \quad n \in \mathbb{N} , \quad A_{n} \in \boldsymbol{B} \Longrightarrow \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcup}} A_{n} \in \boldsymbol{B} \end{aligned} $$



性質

$$ \begin{aligned} &\text{(4)} \quad X \in \boldsymbol{B} \\ &\text{(5)} \quad n \in \mathbb{N} , \quad A_{n} \in \boldsymbol{B} \Longrightarrow \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} A_{n} \in \boldsymbol{B} \end{aligned} $$

(1)の代わりに(4)で定義することもある.

(3)と(5)は完全加法族の元同士の和集合, 積集合もその完全加法族の元となる, ということ.

証明

証明詳細

(1), (2)より,

$$ \begin{aligned} X = X - \phi \in \boldsymbol{B} \end{aligned} $$

[証明終わり]


証明詳細

(2), (3)より,

$$ \begin{aligned} n \in \mathbb{N} , \quad A_{n} \in \boldsymbol{B} \end{aligned} $$

ならば

$$ \begin{aligned} \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} A_{n} = \left( \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcup}} A_{n}^{c} \right) ^{c} \in \boldsymbol{B} \end{aligned} $$

[証明終わり]



集合の性質補足

$$ \begin{aligned} \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} A_{n} = \left( \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcup}} A_{n}^{c} \right) ^{c} \end{aligned} $$

について

補足の証明

証明詳細

$$ \begin{aligned} ^{\forall} n \in \mathbb{N}, \quad \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} A_{n} \subset A_{n} \subset \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcup}} A_{n} \end{aligned} $$

が成り立つ. 補集合を取ると,

$$ \begin{aligned} ^{\forall} n \in \mathbb{N}, \quad \left( \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} A_{n} \right) ^{c} \supset A_{n}^{c} \supset \left( \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcup}} A_{n} \right) ^{c} \end{aligned} $$

であるため,

$$ \begin{aligned} \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcup}} A_{n}^{c} \subset \left( \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} A_{n} \right) ^{c} \qquad \text{(i)} \\ \\ \left( \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcup}} A_{n} \right) ^{c} \subset \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} A_{n}^{c} \qquad \text{(ii)} \end{aligned} $$

が成り立つ.

(i), (ii)より,

$$ \begin{aligned} \left( \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} A_{n} \right) ^{c} = \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcup}} A_{n}^{c} \end{aligned} $$

補集合を取れば,

$$ \begin{aligned} \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} A_{n} = \left( \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcup}} A_{n}^{c} \right) ^{c} \end{aligned} $$

[証明終わり]



同義語

完全加法族は次に挙げる他の呼び方がある.



生成される完全加法族

Xを集合, AをX上の任意の部分集合族, 𝔅をAを含むX上の完全加法族全体の集合とする.

$$ \begin{aligned} &X : \text{set} \\ &\boldsymbol{A} \subset \mathfrak{P}(X) : \text{family of subsets of } X \\ &\mathfrak{B} = \{ \boldsymbol{B} \subset \mathfrak{P}(X) : \text{completely additive class of sets of } X \mid \boldsymbol{A} \subset \boldsymbol{B} \} \\ \end{aligned} $$

この時, 任意のXの部分集合族Aに対し, Aを含む最小の完全加法族が存在する.

証明詳細

$$ \begin{aligned} \boldsymbol{A} \subset \mathfrak{P}(X) \in \mathfrak{B} \end{aligned} $$

より,

$$ \begin{aligned} \mathfrak{B} \neq \phi \end{aligned} $$

である. ここで, 次の集合を考えるとこれは最小かつ完全加法族である.

$$ \begin{aligned} \overset{}{\underset{\boldsymbol{B} \in \mathfrak{B}}{\bigcap}} \boldsymbol{B} \end{aligned} $$

最小性は次で分かる.

$$ \begin{aligned} {}^{\forall} \boldsymbol{B} \in \mathfrak{B}, \quad \overset{}{\underset{\boldsymbol{B} \in \mathfrak{B}}{\bigcap}} \boldsymbol{B} \subset \boldsymbol{B} \end{aligned} $$

完全加法族であることは次で分かる.

$$ \begin{aligned} &\text{(1)} \quad &&{}^{\forall} \boldsymbol{B} , \, \phi \in \boldsymbol{B} \\ &&&\Longrightarrow \phi \in \overset{}{\underset{\boldsymbol{B} \in \mathfrak{B}}{\bigcap}} \boldsymbol{B} \\ \\ &\text{(2)} \quad &&A \in \overset{}{\underset{\boldsymbol{B} \in \mathfrak{B}}{\bigcap}} \boldsymbol{B} \\ &&&\Longrightarrow {}^{\forall} \boldsymbol{B} , \, A ^ c = X - A \in \boldsymbol{B} \\ &&&\Longrightarrow A ^ c \in \overset{}{\underset{\boldsymbol{B} \in \mathfrak{B}}{\bigcap}} \boldsymbol{B} \\ \\ &\text{(3)} \quad &&{}^{\forall} n \in \mathbb{N} , \quad A_{n} \in \overset{}{\underset{\boldsymbol{B} \in \mathfrak{B}}{\bigcap}} \boldsymbol{B} \\ &&&\Longrightarrow {}^{\forall} \boldsymbol{B} , \, {}^{\forall} n \in \mathbb{N} , \, A_{n} \in \boldsymbol{B} \\ &&&\Longrightarrow {}^{\forall} \boldsymbol{B} , \, \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcup}} A_{n} \in \boldsymbol{B} \\ &&&\Longrightarrow \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcup}} A_{n} \in \overset{}{\underset{\boldsymbol{B} \in \mathfrak{B}}{\bigcap}} \boldsymbol{B} \end{aligned} $$

[証明終わり]

この完全加法族をAから生成される完全加法族といい, 次の式で表す.

$$ \begin{aligned} \boldsymbol{B} [ \boldsymbol{A} ] = \overset{}{\underset{\boldsymbol{B} \in \mathfrak{B}}{\bigcap}} \boldsymbol{B} \end{aligned} $$



ボレル集合族

定義

Xをn次元ユークリッド空間, その開集合全体(開集合系) をO(n)とする.

$$ \begin{aligned} &X = \mathbb{R} ^ {n} : \text{set} \\ &\boldsymbol{O}^{(n)} = \{ O \in X \mid O : \text{open set} \} \end{aligned} $$

この時, 開集合系O(n)から生成される加法族をn次元ボレル集合族 といい, B(n)で表す.

$$ \begin{aligned} &\boldsymbol{B}^{(n)} = \boldsymbol{B} [ \boldsymbol{O}^{(n)} ] \end{aligned} $$

ボレル集合族の元をボレル集合という.

より一般に, 位相空間 Xの開集合全体 OX から生成される加法族をXのボレル集合族といい, BXで表す.

性質

完全加法族の定義からボレル集合族は 閉集合全体(閉集合系) を含む.



関連項目



参考文献







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更新日: 2020/09/01

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