完全加法族
概要
- 特定の条件を満たす部分集合族.
定義
\(X\)を集合, \(\boldsymbol{B}\)を\(X\)の部分集合族とする.
\[ \begin{aligned} &X : \text{set} \\ &\boldsymbol{B} \subset \mathfrak{P}(X) : \text{family of subsets of } X \end{aligned} \]
\(\boldsymbol{B}\)が次の条件を満たす時, \(\boldsymbol{B}\)を\(X\)上の 完全加法族(completely additive class of sets) という.
\[ \begin{aligned} &\text{(1)} \quad \phi \in \boldsymbol{B} \\ &\text{(2)} \quad A \in \boldsymbol{B} \Longrightarrow A ^ c = X - A \in \boldsymbol{B} \\ &\text{(3)} \quad n \in \mathbb{N} , \quad A_{n} \in \boldsymbol{B} \Longrightarrow \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcup}} A_{n} \in \boldsymbol{B} \end{aligned} \]
性質
\[ \begin{aligned} &\text{(4)} \quad X \in \boldsymbol{B} \\ &\text{(5)} \quad n \in \mathbb{N} , \quad A_{n} \in \boldsymbol{B} \Longrightarrow \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} A_{n} \in \boldsymbol{B} \end{aligned} \]
(1)の代わりに(4)で定義することもある.
(3)と(5)は完全加法族の元同士の和集合, 積集合もその完全加法族の元となる, ということ.
証明
- (4)の証明
証明詳細
(1), (2)より,
\[ \begin{aligned} X = X - \phi \in \boldsymbol{B} \end{aligned} \]
[証明終わり]
- (5)の証明
証明詳細
(2), (3)より,
\[ \begin{aligned} n \in \mathbb{N} , \quad A_{n} \in \boldsymbol{B} \end{aligned} \]
ならば
\[ \begin{aligned} \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} A_{n} = \left( \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcup}} A_{n}^{c} \right) ^{c} \in \boldsymbol{B} \end{aligned} \]
[証明終わり]
集合の性質補足
\[ \begin{aligned} \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} A_{n} = \left( \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcup}} A_{n}^{c} \right) ^{c} \end{aligned} \]
について
補足の証明
証明詳細
\[ \begin{aligned} ^{\forall} n \in \mathbb{N}, \quad \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} A_{n} \subset A_{n} \subset \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcup}} A_{n} \end{aligned} \]
が成り立つ. 補集合を取ると,
\[ \begin{aligned} ^{\forall} n \in \mathbb{N}, \quad \left( \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} A_{n} \right) ^{c} \supset A_{n}^{c} \supset \left( \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcup}} A_{n} \right) ^{c} \end{aligned} \]
であるため,
\[ \begin{aligned} \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcup}} A_{n}^{c} \subset \left( \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} A_{n} \right) ^{c} \qquad \text{(i)} \\ \\ \left( \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcup}} A_{n} \right) ^{c} \subset \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} A_{n}^{c} \qquad \text{(ii)} \end{aligned} \]
が成り立つ.
(i), (ii)より,
\[ \begin{aligned} \left( \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} A_{n} \right) ^{c} = \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcup}} A_{n}^{c} \end{aligned} \]
補集合を取れば,
\[ \begin{aligned} \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} A_{n} = \left( \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcup}} A_{n}^{c} \right) ^{c} \end{aligned} \]
[証明終わり]
同義語
完全加法族は次に挙げる他の呼び方がある.
- 加法族(additive class of sets)
- 可算加法族(countably additive class of sets)
- \(\sigma\)-代数(\(\sigma\)-algebra)
- \(\sigma\)-集合体(\(\sigma\)-field)
- \(\sigma\)-集合代数
生成される完全加法族
\(X\)を集合, \(\boldsymbol{A}\)を\(X\)上の任意の部分集合族, \(\mathfrak{B}\)を\(\boldsymbol{A}\)を含む\(X\)上の完全加法族全体の集合とする.
\[ \begin{aligned} &X : \text{set} \\ &\boldsymbol{A} \subset \mathfrak{P}(X) : \text{family of subsets of } X \\ &\mathfrak{B} = \{ \boldsymbol{B} \subset \mathfrak{P}(X) : \text{completely additive class of sets of } X \mid \boldsymbol{A} \subset \boldsymbol{B} \} \\ \end{aligned} \]
この時, 任意の\(X\)の部分集合族\(\boldsymbol{A}\)に対し, \(\boldsymbol{A}\)を含む最小の完全加法族が存在する.
証明詳細
\[ \begin{aligned} \boldsymbol{A} \subset \mathfrak{P}(X) \in \mathfrak{B} \end{aligned} \]
より,
\[ \begin{aligned} \mathfrak{B} \neq \phi \end{aligned} \]
である. ここで, 次の集合を考えるとこれは最小かつ完全加法族である.
\[ \begin{aligned} \overset{}{\underset{\boldsymbol{B} \in \mathfrak{B}}{\bigcap}} \boldsymbol{B} \end{aligned} \]
最小性は次で分かる.
\[ \begin{aligned} {}^{\forall} \boldsymbol{B} \in \mathfrak{B}, \quad \overset{}{\underset{\boldsymbol{B} \in \mathfrak{B}}{\bigcap}} \boldsymbol{B} \subset \boldsymbol{B} \end{aligned} \]
完全加法族であることは次で分かる.
\[ \begin{aligned} &\text{(1)} \quad &&{}^{\forall} \boldsymbol{B} , \, \phi \in \boldsymbol{B} \\ &&&\Longrightarrow \phi \in \overset{}{\underset{\boldsymbol{B} \in \mathfrak{B}}{\bigcap}} \boldsymbol{B} \\ \\ &\text{(2)} \quad &&A \in \overset{}{\underset{\boldsymbol{B} \in \mathfrak{B}}{\bigcap}} \boldsymbol{B} \\ &&&\Longrightarrow {}^{\forall} \boldsymbol{B} , \, A ^ c = X - A \in \boldsymbol{B} \\ &&&\Longrightarrow A ^ c \in \overset{}{\underset{\boldsymbol{B} \in \mathfrak{B}}{\bigcap}} \boldsymbol{B} \\ \\ &\text{(3)} \quad &&{}^{\forall} n \in \mathbb{N} , \quad A_{n} \in \overset{}{\underset{\boldsymbol{B} \in \mathfrak{B}}{\bigcap}} \boldsymbol{B} \\ &&&\Longrightarrow {}^{\forall} \boldsymbol{B} , \, {}^{\forall} n \in \mathbb{N} , \, A_{n} \in \boldsymbol{B} \\ &&&\Longrightarrow {}^{\forall} \boldsymbol{B} , \, \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcup}} A_{n} \in \boldsymbol{B} \\ &&&\Longrightarrow \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcup}} A_{n} \in \overset{}{\underset{\boldsymbol{B} \in \mathfrak{B}}{\bigcap}} \boldsymbol{B} \end{aligned} \]
[証明終わり]
この完全加法族を\(\boldsymbol{A}\)から生成される完全加法族といい, 次の式で表す.
\[ \begin{aligned} \boldsymbol{B} [ \boldsymbol{A} ] = \overset{}{\underset{\boldsymbol{B} \in \mathfrak{B}}{\bigcap}} \boldsymbol{B} \end{aligned} \]
ボレル集合族
定義
\(X\)を\(n\)次元ユークリッド空間, その開集合全体(開集合系) を\(\boldsymbol{O}^{(n)}\)とする.
\[ \begin{aligned} &X = \mathbb{R} ^ {n} : \text{set} \\ &\boldsymbol{O}^{(n)} = \{ O \in X \mid O : \text{open set} \} \end{aligned} \]
この時, 開集合系\(\boldsymbol{O}^{(n)}\)から生成される加法族を\(n\)次元ボレル集合族 といい, \(\boldsymbol{B}^{(n)}\)で表す.
\[ \begin{aligned} &\boldsymbol{B}^{(n)} = \boldsymbol{B} [ \boldsymbol{O}^{(n)} ] \end{aligned} \]
ボレル集合族の元をボレル集合という.
より一般に, 位相空間 \(X\)の開集合全体 \(\boldsymbol{O}_{X}\) から生成される加法族を\(X\)のボレル集合族といい, \(\boldsymbol{B}_{X}\)で表す.
性質
完全加法族の定義からボレル集合族は 閉集合全体(閉集合系) を含む.
関連項目
参考文献
- 折原明夫 (2002) 『数学シリーズ 測度と積分』, 裳華房．
- 原啓介 (2017) 『測度・確率・ルベーグ積分 応用への最短コース』, 講談社．
- 伊藤清 (2004) 『確率論の基礎』, 岩波書店．
- 佐藤坦 (1994) 『はじめての確率論 測度から確率へ』, 共立出版株式会社．
- 新井仁之 (2003) 『ルベーグ積分講義-ルベーグ積分と面積0の不思議な図形たち』, 日本評論社．