色々な行列

概要



目次

目次詳細



早見表



行列

$$ \begin{aligned} &A = \left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots && \vdots && \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots && \vdots && \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \\ \end{array} \right) \in \mathbb{C} ^ {m \times n} \\ \\ &: m \times n \, \text{complex matrix} \end{aligned} $$



表記について



正方行列

Aを m × n 行列とする.

$$ \begin{aligned} A \in \mathbb{C} ^ {m \times n} : m \times n \, \text{complex matrix} \end{aligned} $$

次の式

$$ \begin{aligned} m = n \end{aligned} $$

が成り立つ時, つまり

$$ \begin{aligned} &A = \left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots && \vdots && \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots && \vdots && \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right) \in \mathbb{C} ^ {n \times n} \\ \\ &: n \times n \, \text{complex matrix} \end{aligned} $$

と書ける時, 行列Aを 正方行列(square matrix) という.



転置行列

Aを m × n 行列とする.

$$ \begin{aligned} A \in \mathbb{C} ^ {m \times n} : m \times n \, \text{complex matrix} \end{aligned} $$

次の式

$$ \begin{aligned} B &= A ^\mathrm{T} \\ &= \left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{i1} & \cdots & a_{m1} \\ \vdots && \vdots && \vdots \\ a_{1j} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{mj} \\ \vdots && \vdots && \vdots \\ a_{1n} & \cdots & a_{in} & \cdots & a_{nm} \\ \end{array} \right) \in \mathbb{R} ^ {n \times m} \end{aligned} $$

を満たす行列Bを行列Aの 転置行列(transposed matrix) という.



随伴行列

Aを m × n 複素行列とする.

$$ \begin{aligned} A \in \mathbb{C} ^ {m \times n} : m \times n \, \text{complex matrix} \end{aligned} $$

この時,

$$ \begin{aligned} A ^\ast = \overline{ ( A ^\mathrm{T} ) } = ( \overline{A} ) ^\mathrm{T} \end{aligned} $$

をAの 随伴行列(adjoint matrix) という.



対称行列

Aを n 次実正方行列とする.

$$ \begin{aligned} A \in \mathbb{R} ^ {n \times n} : n \text{-dim real square matrix} \end{aligned} $$

次の式

$$ \begin{aligned} A = A ^\mathrm{T} \end{aligned} $$

が成り立つ時, Aを 対称行列(symmetric matrix) という.



エルミート行列

Aを n 次複素正方行列とする.

$$ \begin{aligned} A \in \mathbb{C} ^ {n \times n} : n \text{-dim complex square matrix} \end{aligned} $$

次の式

$$ \begin{aligned} A = A ^\ast \end{aligned} $$

が成り立つ時, Aを エルミート行列(Hermitian matrix) または 自己随伴行列(self-adjoint matrix) という. 直交行列 は 実ユニタリ行列 のこと.



直交行列

Aを n 次実正方行列とする.

$$ \begin{aligned} A \in \mathbb{R} ^ {n \times n} : n \text{-dim real square matrix} \end{aligned} $$

次の式

$$ \begin{aligned} A ^\mathrm{T} A = A A ^\mathrm{T} = I \end{aligned} $$

が成り立つ時, Aを 直交行列(orthogonal matrix) という.



ユニタリ行列

Aを n 次複素正方行列とする.

$$ \begin{aligned} A \in \mathbb{C} ^ {n \times n} : n \text{-dim complex square matrix} \end{aligned} $$

次の式

$$ \begin{aligned} A ^\ast A = A A ^\ast = I \end{aligned} $$

が成り立つ時, Aを ユニタリ行列(unitary matrix) という. 直交行列 は 実ユニタリ行列 のこと.



正規行列

Aを n 次複素正方行列とする.

$$ \begin{aligned} A \in \mathbb{C} ^ {n \times n} : n \text{-dim complex square matrix} \end{aligned} $$

次の式

$$ \begin{aligned} A ^\ast A = A A ^\ast \end{aligned} $$

が成り立つ時, Aを 正規行列(normal matrix) という. ユニタリ行列 は 正規行列 の特殊な場合.



関連項目



参考文献







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更新日: 2021/07/05

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