色々な行列
概要
- 色々な行列をメモ.
早見表
- no contents
行列
- \(m \times n\) 複素行列
\[ \begin{aligned} &A = \left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots && \vdots && \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots && \vdots && \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \\ \end{array} \right) \in \mathbb{C} ^ {m \times n} \\ \\ &: m \times n \, \text{complex matrix} \end{aligned} \]
表記について
- \(m \times n\) 実行列(要素が実数の行列)の集合に対する表記色々
- \(M_{m, n} ( \mathbb{R} )\)
- \(\mathbb{M} (m, n)\)
- \(\mathbb{R}^{m \times n}\)
- \(m \times n \, \text{real matrix}\)
正方行列
\(A\)を \(m \times n\) 行列とする.
\[ \begin{aligned} A \in \mathbb{C} ^ {m \times n} : m \times n \, \text{complex matrix} \end{aligned} \]
次の式
\[ \begin{aligned} m = n \end{aligned} \]
が成り立つ時, つまり
\[ \begin{aligned} &A = \left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots && \vdots && \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots && \vdots && \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right) \in \mathbb{C} ^ {n \times n} \\ \\ &: n \times n \, \text{complex matrix} \end{aligned} \]
と書ける時, 行列\(A\)を 正方行列(square matrix) という.
転置行列
\(A\)を \(m \times n\) 行列とする.
\[ \begin{aligned} A \in \mathbb{C} ^ {m \times n} : m \times n \, \text{complex matrix} \end{aligned} \]
次の式
\[ \begin{aligned} B &= A ^\mathrm{T} \\ &= \left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{i1} & \cdots & a_{m1} \\ \vdots && \vdots && \vdots \\ a_{1j} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{mj} \\ \vdots && \vdots && \vdots \\ a_{1n} & \cdots & a_{in} & \cdots & a_{nm} \\ \end{array} \right) \in \mathbb{R} ^ {n \times m} \end{aligned} \]
を満たす行列\(B\)を行列\(A\)の 転置行列(transposed matrix) という.
随伴行列
\(A\)を \(m \times n\) 複素行列とする.
\[ \begin{aligned} A \in \mathbb{C} ^ {m \times n} : m \times n \, \text{complex matrix} \end{aligned} \]
この時,
\[ \begin{aligned} A ^\ast = \overline{ ( A ^\mathrm{T} ) } = ( \overline{A} ) ^\mathrm{T} \end{aligned} \]
を\(A\)の 随伴行列(adjoint matrix) という.
対称行列
\(A\)を \(n\) 次実正方行列とする.
\[ \begin{aligned} A \in \mathbb{R} ^ {n \times n} : n \text{-dim real square matrix} \end{aligned} \]
次の式
\[ \begin{aligned} A = A ^\mathrm{T} \end{aligned} \]
が成り立つ時, \(A\)を 対称行列(symmetric matrix) という.
エルミート行列
\(A\)を \(n\) 次複素正方行列とする.
\[ \begin{aligned} A \in \mathbb{C} ^ {n \times n} : n \text{-dim complex square matrix} \end{aligned} \]
次の式
\[ \begin{aligned} A = A ^\ast \end{aligned} \]
が成り立つ時, \(A\)を エルミート行列(Hermitian matrix) または 自己随伴行列(self-adjoint matrix) という. 直交行列 は 実ユニタリ行列 のこと.
直交行列
\(A\)を \(n\) 次実正方行列とする.
\[ \begin{aligned} A \in \mathbb{R} ^ {n \times n} : n \text{-dim real square matrix} \end{aligned} \]
次の式
\[ \begin{aligned} A ^\mathrm{T} A = A A ^\mathrm{T} = I \end{aligned} \]
が成り立つ時, \(A\)を 直交行列(orthogonal matrix) という.
ユニタリ行列
\(A\)を \(n\) 次複素正方行列とする.
\[ \begin{aligned} A \in \mathbb{C} ^ {n \times n} : n \text{-dim complex square matrix} \end{aligned} \]
次の式
\[ \begin{aligned} A ^\ast A = A A ^\ast = I \end{aligned} \]
が成り立つ時, \(A\)を ユニタリ行列(unitary matrix) という. 直交行列 は 実ユニタリ行列 のこと.
正規行列
\(A\)を \(n\) 次複素正方行列とする.
\[ \begin{aligned} A \in \mathbb{C} ^ {n \times n} : n \text{-dim complex square matrix} \end{aligned} \]
次の式
\[ \begin{aligned} A ^\ast A = A A ^\ast \end{aligned} \]
が成り立つ時, \(A\)を 正規行列(normal matrix) という. ユニタリ行列 は 正規行列 の特殊な場合.
関連項目
- no contents
参考文献
- no contents