ベイズの定理

概要

条件付き確率に関して成り立つ定理.
事前確率を仮定した上で事後確率を求める.

定理

定理詳細

A, Bを事象(event)とする. この時次が成り立つ.

$$ \begin{aligned} P(A \vert B) = \frac{P(B \vert A) P(A)}{P(B)} \end{aligned} $$

また,

$$ \begin{aligned} &^\forall i, j \\ &A_i, A_j, B : \text{event} \\ \\ &A_i \cap A_j = \emptyset \\ &B \subseteq \bigcup_{i} A_i \end{aligned} $$

の時,

$$ \begin{aligned} P(A_j \vert B) = \frac{P(B \vert A_j) P(A_j)}{\sum_{i}{P(B \vert A_i) P(A_i)}} \end{aligned} $$

が成り立つ. これをベイズの定理(Bayes’s theorem)という.

証明

証明詳細

後半のみ行う. 条件付き確率の定義より,

$$ \begin{aligned} P(B \vert A_i) = \frac{P(A_i \cap B)}{P(A_i)} \qquad \text{(1)} \\ \\ P(B \vert A_j) = \frac{P(A_j \cap B)}{P(A_j)} \qquad \text{(2)} \\ \\ P(A_j \vert B) = \frac{P(A_i \cap B)}{P(B)} \qquad \text{(3)} \end{aligned} $$

が成り立つ.

(1) より,

$$ \begin{aligned} \sum_{i}{P(B \vert A_i) P(A_i)} &= \sum_{i}{P(A_i \cap B)} \\ \\ &= P\left( (\bigcup_i A_i ) \cap B \right) \\ \\ &= P(B) \end{aligned} $$

(2) と (3) と上式より,

$$ \begin{aligned} P(A_j \vert B) &= \frac{P(A_i \cap B)}{P(B)} \\ \\ &= \frac{P(B \vert A_j) P(A_j)}{P(B)} \\ \\ &= \frac{P(B \vert A_j) P(A_j)}{\sum_{i}{P(B \vert A_i) P(A_i)}} \end{aligned} $$

が成り立つ.

[証明終わり]

参考文献

稲垣宣生 (2015) 『数学シリーズ数理統計学(改訂版)』, 裳華房．
久保川達也 (2017) 『共立講座数学の魅力11 現代数理統計学の基礎』, 共立出版株式会社．

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更新日: 2020/08/31

ベイズの定理

概要

目次

定理

証明

参考文献